Démonstration de la formule de dérivation des fonctions composées

Propriété

On considère une fonction \(v\) définie et dérivable sur un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\) et une fonction \(u\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans l'intervalle \(J\). Alors la composée \(v \circ u\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée \(\boxed{(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)}\).

Démonstration

On considère une fonction \(v\) définie et dérivable sur un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\) et une fonction \(u\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans l'intervalle \(J\). Soit \(x_0\) un nombre réel de \(I\).
Pour tout \(x\) dans \(I\), le taux de variation de \(v \circ u\) entre \(x\) et \(x_0\) est :

\(\dfrac{(v \circ u)(x) -(v \circ u)(x_0) }{x-x_0} = \dfrac{v(u(x)) -v(u(x_0)) }{x-x_0} = \dfrac{v(u(x)) -v(u(x_0)) }{u(x)-u(x_0)} \times \dfrac{u(x) -u(x_0) }{x-x_0}\)Or, \(\dfrac{u(x) -u(x_0) }{x-x_0}\) est le taux de variation de la fonction \(u\) entre \(x\) et \(x_0\), et comme \(u\) est dérivable, on a \(\lim \limits_{x_0 \rightarrow x} \dfrac{u(x) -u(x_0) }{x-x_0} = u'(x)\).

De plus, \(\dfrac{v(u(x)) -v(u(x_0)) }{u(x)-u(x_0)}\) est le taux de variation de la fonction \(v\) entre \(u(x)\) et \(u(x_0)\), et comme \(v\) est dérivable, on a \(\lim \limits_{x_0 \rightarrow x} \dfrac{v(u(x)) -v(u(x_0)) }{u(x)-u(x_0)} = v'(u(x))\).

On en déduit \(\lim \limits_{x_0 \rightarrow x} \dfrac{(v \circ u)(x) -(v \circ u)(x_0) }{x-x_0} = v'(u(x)) \times u'(x)\).